「NOIP 2008 双栈排序」的一点点 Hack

最近重温了一下双栈排序，发现了一个惊天 BUG。常规的算法大概是这样的：

建图，构建出约束关系：

对于每一个位置 $i$，建立一个点 $v_i$。
对于 $i < j$，满足 $a_i < a_j$ 且有 $k > j$ 满足 $a_k < a_i$，则连接 $v_i\leftrightarrow v_j$ 的无向边。

对这个图进行二分图黑白染色，如果不能染色，那么说明无解。否则这种染色方案对应一个可行解：顺着考虑序列 $P$，如果点 $v_i$ 是白色，那么它入栈 $S_1$，否则入栈 $S_2$，入栈之后能出栈的全部出栈。

这样的复杂度是 $O(n^2)$ 的（我知道有更优的复杂度），足够通过 OJ 上的测试数据了，但是问题就在于「入栈之后能出栈的全部出栈」这一句话是有问题的。

我们来看一组数据：

4
2 3 1 4

网上能找到的几乎所有程序跑出来的结果是 a c a b b d a b，然而答案 a c a b b a d b 确是一个更优的可行解。

原因就在于：「入栈之后能出栈的全部出栈」在某些情况下会导致不优，不难发现只有一种情况，那就是「先出栈 $S_2$，再入栈 $S_1$」，我们可以调整为「先入栈 $S_1$ 再出栈 $S_2$」，这样操作就由 d a 变成了 a d，仍然合法而且字典序更小。然而数据中并没有包含这一种情况，所以，没有考虑到这一点的程序也 AC 了。（网上我只发现 __debug 的程序是对的）。

解决方案是在每次出栈的时候，先全部出栈，然后再对这一次出栈的序列进行扫描，假设这一次的序列是 b d b d d d d d，找到最长的后缀 d，如果长度大于 0 而且且下一个点入栈 $S_1$，那么就将后面连续的操作 d 全部撤销掉。

不难发现更改之后的算法，每个点最多出入栈 2 次，所以复杂度没有变化仍然是 $O(n^2)$ 的。

代码

//  Created by Sengxian on 2016/11/04.
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX_N = 1000 + 3;
int n, a[MAX_N], mn[MAX_N], color[MAX_N];
bool G[MAX_N][MAX_N];

bool Dfs(int u, int c) {
    color[u] = c;
    for (int v = 0; v < n; ++v) if (G[u][v]) {
        if (color[v] == c) return false;
        if (color[v] == 0 && !Dfs(v, -c)) return false;
    }
    return true;
}

stack<int> A, B;
vector<char> ans;
int now = 0;

void go(int i) {
    vector<int> vec;
    while (true) {
        bool update = false;
        if (!A.empty() && A.top() == now) A.pop(), now++, vec.push_back('b'), update = true;
        if (!B.empty() && B.top() == now) B.pop(), now++, vec.push_back('d'), update = true;
        if (!update) break;
    }
    if (i + 1 < n && color[i + 1] == -1) {
        for (int j = (int)vec.size() - 1; j >= 0; --j)
            if (vec[j] == 'b' || (j == 0 && vec[j] == 'd')) { // 特判
                int len = (int)vec.size() - j - 1;
                if (j == 0 && vec[j] == 'd') len = (int)vec.size(); 
                for (int k = now - 1; k > now - 1 - len; --k)
                    B.push(k);
                now -= len;
                vec.resize((int)vec.size() - len);
                break;
            }
    }
    ans.insert(ans.end(), vec.begin(), vec.end());
}

void solve() {
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (color[i] == -1) {
            A.push(a[i]), ans.push_back('a');
            go(i);
        } else if (color[i] == 1) {
            B.push(a[i]), ans.push_back('c');
            go(i);
        }
    for (int i = 0; i < (int)ans.size(); ++i)
        printf("%c%c", ans[i], i + 1 == (int)ans.size() ? '\n' : ' ');
}

int main() {
#ifdef DEBUG
    freopen("test.in", "r", stdin);
#endif
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", a + i), a[i]--;
    mn[n] = n;
    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) mn[i] = min(mn[i + 1], a[i]);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) if (a[i] < a[j] && mn[j + 1] < a[i])
            G[i][j] = G[j][i] = true;
    for (int i = 0; i < n; ++i) if (!color[i])
        if (!Dfs(i, -1)) return puts("0"), 0;
    solve();
    return 0;
}

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